Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦EF⊥AB，垂足為C，∠A＝30°，連結BE，M為BE的中點，連結MF，過點F作直線FD∥AE，交AB的延長線于點D．

（1）求證：FD是⊙O的切線；

（2）若MF＝，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）⊙O的半徑為2．

【解析】

（1）連接，，如圖，利用等腰三角形的性質得到．而，所以，再根據切線的性質得即可；

（2）連接，如圖，利用圓周角定理得到．再證明得到．而，所以，設的半徑為，利用含30度的直角三角形三邊的關系得，然后根據勾股定理得到結論．

（1）證明：連接OE，OF，如圖1，

∵EF⊥AB，AB是⊙O的直徑，

∴∠DOF＝∠DOE，

∵∠DOE＝2∠A，∠A＝30°，

∴∠DOF＝60°，

∵∠D＝30°，

∴∠OFD＝90°．

∴OF⊥FD．

∴FD為⊙O的切線；

（2）連接OM．如圖2所示：

∵AB為⊙O的直徑，

∴O為AB中點，∠AEB＝90°．

∵M為BE的中點，

∴OM∥AE，OM＝AE，

∵∠A＝30°，

∴∠MOB＝∠A＝30°．

∵∠DOF＝2∠A＝60°，

∴∠MOF＝90°，

∴OM2+OF2＝MF2．

設⊙O的半徑為r．

∵∠AEB＝90°，∠A＝30°，

∴BE＝AB＝r，AE＝BE＝r，

∴OM＝AE＝r，

∵FM＝，

∴（r）2+r2＝（）2．

解得r＝2（舍去負根），

∴⊙O的半徑為2．