Question

【題目】如圖，AB為的直徑，點C和點G是上的兩點，過點C作BG的垂線交BG的延長線于點D延長DC交A的延長線于點E，連接BC，交OD于點F，BC平分∠ABD．

（1）求證：CD是的切線；

（2）若，探索線段OF與FD的數量關系；

（3）連接AD，若，，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），理由見解析；（3）

【解析】

（1）連接OC，然后根據題意和角平分線的性質可以判斷OC∥BD，由∠BDC=90°，從而以證明結論成立；
（2）利用角的性質證得，設的半徑為r，證得，利用同高的兩個三角形面積的比等于底的比得到，繼而證得結論；

（3）利用角的性質求得，，利用求得，作，易求得，，繼而求得，再利用勾股定理即可求得答案．

（1）如圖，連接OC．

∵，BC平分，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵OC是的半徑，

∴CD是的切線；

（2）．

理由如下：

∵，，

∴，

∵，

∴，

設的半徑為r，則，，

∵，，

∴，，

∵BC平分，

∴F到OB、DB的距離相等，

∴，

∴，

即；

（3）∵，

∴，

∵，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

如解圖，過點D作于點M，

∴，

∵，，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴．