Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點，則AM的最小值為　( )

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據勾股定理的逆定理可以證明∠BAC=90°；根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，則AMEF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根據三個角都是直角的四邊形是矩形，得到四邊形AEPF是矩形，根據矩形的對角線相等，得EF=AP，則EF的最小值即為AP的最小值，根據垂線段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜邊上的高．

在△ABC中，∵AB=3，AC=4，BC=5，∴AB2+AC2=BC2，即∠BAC=90°．

又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴∠AEP=∠AFP=90°，∴四邊形AEPF是矩形，∴EF=AP．

∵M是EF的中點，∴AMEFAP．

因為AP的最小值即為直角三角形ABC斜邊上的高，即等于，∴AM的最小值是．

故選A．