Question

【題目】已知A，B，C，D是⊙O上的四個點．

(1)如圖①，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求證：AC⊥BD；

(2)如圖②，若AC⊥BD，垂足為F，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析;(2)⊙O的半徑為.

【解析】試題分析：（1）根據題意不難證明四邊形ABCD是正方形，結論可以得到證明；
（2）連結DO，延長交圓O于F，連結CF、BF．根據直徑所對的圓周角是直角，得∠DCF=∠DBF=90°，則BF∥AC，根據平行弦所夾的弧相等，得弧CF=弧AB，則CF=AB．根據勾股定理即可求解．

試題解析：

：（1）∵∠ADC=∠BCD=90°，
∴AC、BD是⊙O的直徑，
∴∠DAB=∠ABC=90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
∵AD=CD，
∴四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD；
（2）連結DO，延長交圓O于F，連結CF、BF．
∵DF是直徑，
∴∠DCF=∠DBF=90°，
∴FB⊥DB，
又∵AC⊥BD，
∴BF∥AC，∠BDC+∠ACD=90°，
∵∠FCA+∠ACD=90°
∴∠BDC=∠FCA=∠BAC
∴等腰梯形ACFB
∴CF=AB．
根據勾股定理，得
CF2+DC2=AB2+DC2=DF2=20，
∴DF=2，

∴OD=，即⊙O的半徑為.