Question

【題目】如圖，圓C過原點并與坐標軸分別交于A、D兩點，已知點B為圓C圓周上一動點，且∠ABO=30°，點D的坐標為（0，2）．

（1）直接寫出圓心 C 的坐標；

（2）當△BOD為等邊三角形時，求點B的坐標；

（3）若以點B為圓心、r為半徑作圓B，當圓B與兩個坐標軸同時相切時，求點B的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（﹣1， ）；（2）B（﹣3， ）；（3）B（﹣﹣1， +1）或B（﹣1， ﹣1）．

【解析】試題分析：（1）連接OC并延長，交⊙C于點E，連接EA、ED，在直角三角形中，由30°角的性質和直角三角形的正切值可求出ED的長；再過點C作CF⊥OD，垂足為F，則CF是△DEO的中位線，根據三角形的中位線的性質可求C點的坐標；

（2）作BH⊥x軸交x軸于點H，根據勾股定理可求B點的坐標；

（3）分為B點在第一象限或第二象限，設出B的坐標，利用勾股定理可求解.

試題解析：（1）如圖1，連接OC并延長，交⊙C于點E，連接EA、ED．

因為∠ABO=30°，

∴∠AEO=30°，又因為OE是直徑，

∠AOE=60°，∠EOD=30°，∠EDO=90°

∵OD=2，

∴ED=DOtan30°=2．

過點C作CF⊥OD，垂足為F，則CF是△DEO的中位線，

所以OF=，CF=1．

∴點C的坐標為（﹣1，）

故圓心C的坐標為（﹣1，）；

（2）如圖2，作BH⊥x軸交x軸于點H，

當△BOD是等邊三角形，

則OB=OD=2，∠BOD=60°，

故∠BOA=30°，

則BH=OB=×2=，

OH===3，

∴B（﹣3，）；

（3）若B在第二象限，設B（﹣a，a），（a＞0），

則BC=，

∴AD===4，

∴AC=2，

∵BC=AC，

∴=2，

∴（﹣a+1）2+（a﹣）2=4，

解得：a1=0（舍去），a2=1+，

故B（﹣﹣1， +1），

若B在第一象限，設B（a，a），（a＞0），

∴BC=，

同理： =2，

解得：a3=0（舍去），a4=﹣1，

∴B（﹣1，﹣1），

綜上所述：B（﹣﹣1， +1）或B（﹣1，﹣1）．