Question

【題目】如圖，AB=12cm，AC⊥AB，BD⊥AB ，AC=BD=9cm，點P在線段AB上以3 cm/s的速度，由A向B運動，同時點Q在線段BD上由B向D運動．

（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當(dāng)運動時間t=1（s），△ACP與△BPQ是否全等？說明理由，并直接判斷此時線段PC和線段PQ的位置關(guān)系；

（2）將 “AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB=∠DBA”，其他條件不變．若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當(dāng)點Q的運動速度為多少時，能使△ACP與△BPQ全等.

（3）在圖2的基礎(chǔ)上延長AC，BD交于點E，使C，D分別是AE，BD中點，若點Q以（2）中的運動速度從點B出發(fā)，點P以原來速度從點A同時出發(fā)，都逆時針沿△ABE三邊運動，求出經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次相遇．

Answer 1

【答案】（1）△ACP≌△BPQ，理由見解析；線段PC與線段PQ垂直（2）1或（3）9s

【解析】

（1）利用SAS證得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，進一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出結(jié)論即可；
（2）由△ACP≌△BPQ，分兩種情況：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程組求得答案即可．

（3）因為VQ＜VP，只能是點P追上點Q，即點P比點Q多走PB+BQ的路程，據(jù)此列出方程，解這個方程即可求得．

（1）當(dāng)t=1時，AP=BQ=3，BP=AC=9，

又∵∠A=∠B=90°，

在△ACP與△BPQ中，，

∴△ACP≌△BPQ（SAS），

∴∠ACP=∠BPQ，

∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°，

∠CPQ=90°，

則線段PC與線段PQ垂直.

（2）設(shè)點Q的運動速度x,

①若△ACP≌△BPQ，則AC=BP，AP=BQ，

，

解得，

②若△ACP≌△BPQ，則AC=BQ，AP=BP，

解得，

綜上所述，存在或使得△ACP與△BPQ全等.

（3）因為VQ＜VP，只能是點P追上點Q，即點P比點Q多走PB+BQ的路程，

設(shè)經(jīng)過x秒后P與Q第一次相遇，

∵AC=BD=9cm，C，D分別是AE，BD的中點；

∴EB=EA=18cm.

當(dāng)VQ=1時，

依題意得3x=x+2×9，

解得x=9；

當(dāng)VQ=時，

依題意得3x=x+2×9，

解得x=12.

故經(jīng)過9秒或12秒時P與Q第一次相遇.