Question

【題目】如圖，拋物線與直線分別相交于，兩點，且此拋物線與軸的一個交點為，連接，．已知，．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線對稱軸上找一點，使的值最大，并求出這個最大值；

（3）點為軸右側拋物線上一動點，連接，過點作交軸于點，問：是否存在點使得以，，為頂點的三角形與相似？若存在，請求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點M的坐標為（，）時，取最大值為；（3）存在點．

【解析】

（1）根據待定系數法求解即可；

（2）根據三角形的三邊關系可知：當點、、三點共線時，可使的值最大，據此求解即可；

（3）先求得，再過點作于點，過點作軸于點，如圖，這樣就把以，，為頂點的三角形與相似問題轉化為以，，為頂點的三角形與相似的問題，再分當時與時兩種情況，分別求解即可．

解：（1）將，代入得：

，解得：，

∴拋物線的解析式是；

（2）解方程組：，得，，

∵，∴

當點、、三點不共線時，根據三角形三邊關系得，

當點、、三點共線時，，

∴當點、、三點共線時，取最大值，即為的長，

如圖，過點作BE⊥x軸于點，則在中，由勾股定理得：，∴取最大值為；

易求得直線BC的解析式為：y=－x－3，拋物線的對稱軸是直線，當時，，∴點M的坐標為（，）；

∴點M的坐標為（，）時，取最大值為；

（3）存在點，使得以、、為頂點的三角形與相似．

設點坐標為，

在中，∵，∴，

在中，∵，∴，

∴，，

過點作于點，過點作軸于點，如圖，

∵，，∴∽，

∵，

∴①當時，∽，

∴，解得，，（舍去）

∴點的縱坐標為，∴點為；

②當時，∽，

∴，解得（舍去），（舍去），

∴此時無符合條件的點；

綜上所述，存在點．