Question

【題目】已知拋物線的對稱軸與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)是分式方程的解，若拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)坐標(biāo)為，連結(jié)，若點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．

（3）連結(jié)過點(diǎn)作軸的垂線在第三象限中的拋物線上取點(diǎn)過點(diǎn)作直線的垂線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，已知．

①求點(diǎn)的坐標(biāo)；

②在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得成立？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為；②點(diǎn)的坐標(biāo)為

【解析】

（1）通過解方程求出拋物線對稱軸的橫坐標(biāo)，得出，再代入點(diǎn)坐標(biāo)即可；

（2）作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)過點(diǎn)作軸交與點(diǎn)、交軸與點(diǎn)，在圖示的位置時(shí)，有最小值，即可求解；

（3）①，則，即：，求解即可；②求出HP所在的直線表達(dá)式與二次函數(shù)聯(lián)立，求得交點(diǎn)即可．

解：（1）拋物線對稱軸與軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)是的解，

拋物線對稱軸為，

拋物線過點(diǎn)

，

拋物線的解析式為

（2）作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)過點(diǎn)作軸交與點(diǎn)、交軸與點(diǎn)

，

則，

，

在圖示的位置時(shí)，，

此時(shí)為最小值，長度為，

，，

，

在中，，

即的最小值為；

（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

直線表達(dá)式的值為，

則直線表達(dá)式的值為，

設(shè)直線的表達(dá)式為:

將點(diǎn)坐標(biāo)代入上式并解得:，

則點(diǎn)的坐標(biāo)為，

點(diǎn)的坐標(biāo)為

過點(diǎn)作軸的平行線交直線于點(diǎn)過點(diǎn)作軸平行線交過點(diǎn)作軸的平行線于點(diǎn)

，

，

則，

即:

，

即:，

解得:或(舍去)

故點(diǎn)坐標(biāo)為

點(diǎn)坐標(biāo)為；

過點(diǎn)作軸的平行線交直線于點(diǎn)、交軸于點(diǎn)，作于點(diǎn)，

則:

則，，

設(shè):

則

則，

過點(diǎn)作軸的平行線交過點(diǎn)與軸的平行線于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，過點(diǎn)作

則:，

即四邊形為正方形，

，

設(shè):，

，，

則

即點(diǎn)坐標(biāo)為，

則所在的直線表達(dá)式為:，

聯(lián)立并解得:或(舍去)，

故點(diǎn)的坐標(biāo)為．