Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，BC⊥AB于點B，連接OC交⊙O于點E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于點G．

（1）求證：點E是的中點；

（2）求證：CD是⊙O的切線；

（3）若sin∠BAD=，⊙O的半徑為5，求DF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）見解析 （3）

【解析】

(1) 連接OD，根據平行的性質得到∠A=∠COB，再證明∠DOC=∠BOC即可得到答案；

(2)先根據題意的大△COD≌△COB，再根據全等三角形的性質以及BC⊥AB于點B即可證明；

(3)先根據sin∠BAD=，設DG=4x，AD=5x再根據勾股定理求解即可得到答案；

（1）證明：連接OD，

∵AD∥OC，

∴ ∠A=∠COB（兩直線平行，同位角相等），

又∵∠A=∠BOD（同弧圓心角等于圓周角的2倍），

∴∠BOC=∠BOD；

∴∠DOC=∠BOC；

∴，則點E是的中點；

（2）證明：如圖所示：

由（1）知∠DOE=∠BOE，

∵CO=CO，OD=OB，

∴ △COD≌△COB；

∴∠CDO=∠B；

又∵BC⊥AB，

∴ ∠CDO=∠B=90°；

∴CD是⊙O的切線；

（3）解：在△ADG中，

∵sin∠BAD=，

設DG=4x，AD=5x；

∵ DF⊥AB，

∴ AG=3x；

又∵⊙O的半徑為5，

∴ OG=5﹣3x；

∵ OD2=DG2+OG2，

∴，

∴ x1= ，x2=0；（舍去）

∴ DF=2DG=2×4x=8x=；