Question

【題目】如圖，DE是△ABC的中位線，過點C作CF∥BD交DE的延長線于點F，連接AF、DC．

（1）求證：四邊形ADCF是平行四邊形；

（2）若AC＝BC，判斷四邊形ADCF的形狀，無需說明理由；

（3）若∠ACB＝90°，判斷四邊形ADCF的形狀，無需說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）四邊形ADCF是矩形；（3）四邊形ADCF是菱形．

【解析】

（1）可先證得△AED≌△CEF，可證得ED＝EF，可證明四邊形ADCF為平行四邊形；
（2）證明四邊形ADCF是平行四邊形，再得出AC＝DF即可.

（3）根據DF∥BC，證明AC⊥DF即可.

（1）證明：∵DE是△ABC的中位線，

∴E為AC中點，

∴AE＝EC，

∵CF∥BD，

∴∠ADE＝∠DFC，

在△ADE和△CFE中，

∵，

∴△ADE≌△CFE（AAS），

∴DE＝FE

∴四邊形ADCF是平行四邊形．

（2）解：四邊形ADCF是矩形．

理由：∵DE＝FE，AE＝AC，

∴四邊形ADCF是平行四邊形，

∴AD＝CF，

∵AD＝BD，

∴BD＝CF，又因為BD∥CF

∴四邊形DBCF為平行四邊形，

∴BC＝DF，

∵AC＝BC，

∴AC＝DF，

∴平行四邊形ADCF是矩形．

（3）解：四邊形ADCF是菱形．

理由：∵DF∥BC，

∴∠AED＝∠ACB＝90°，

∴AC⊥DF，

∵四邊形ADCF是平行四邊形，

∴四邊形ADCF是菱形．