Question

【題目】如圖，直線與軸、軸分別交于兩點，拋物線經過點，與軸另一交點為，頂點為．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在軸上找一點，使的值最小，求的最小值；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點，使得？若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或．

【解析】

由于拋物線的解析式中只有兩個待定系數，因此將B、C兩點的坐標代入拋物線中即可求出拋物線的解析式．

作點關于軸的對稱點，連接交軸于點，則此時為最小，再將的坐標代入一次函數表達式即可解得

分別求出點P在x軸的位置即可.

解：（1）直線與軸、軸分別交于兩點，則點的坐標分別為，

將點的坐標代入二次函數表達式得：，解得：，

故函數的表達式為：，

令，則或3，故點；

（2）如圖1，作點關于軸的對稱點，連接交軸于點，則此時為最小，

函數頂點坐標為，點，

將的坐標代入一次函數表達式并解得：

直線的表達式為：，

當時， ，

故點；

（3）①當點在軸上方時，如下圖2，

∵，則，

過點作，設，

則，

由勾股定理得：，

，解得： （負值已舍去），

則，

則；

②當點在軸下方時，

則；

故點的坐標為或．