Question

【題目】如圖，BC⊥CA，BC=CA，DC⊥CE，DC=CE，直線BD與AE交于點F，與AC交于點G，連接CF.

（1）BD和AE的大小關系是____________，位置關系是____________；請給出證明；

（2）求證：CF平分∠BFE.

Answer 1

【答案】（1）BD=AE，BD⊥AE，證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】試題分析: （1）根據垂直的定義得到∠ACB=∠DCE=90°，由角的和差得到∠BCD=∠ACE，即可得到△ACE≌△BCD從而可得到結論；

（2）過C作CH⊥AE于H，CI⊥BF于I，根據全等三角形的性質得到AE=BD，S△ACE=S△BCD，根據三角形的面積公式得到CH=CI，于是得到CF平分∠BFH，推出△ABC是等腰直角三角形，即可得到結論．

試題解析:

（1）BD=AE，BD⊥AE，

證明：∵BC⊥CA，DC⊥CE，

∴∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠BCD=∠ACE，

在△BCD與△ACE中，

，

∴△ACE≌△BCD；

∴∠CBD=∠CAE，

∵∠BGC=∠AGE，

∴∠AFB=∠ACB=90°，

∴BF⊥AE；

（2）過C作CH⊥AE于H，CI⊥BF于I，

∵△BCD≌△ACE，

∴AE=BD，S△ACE=S△BCD，

∴CH=CI，

∴CF平分∠BFH.

點睛: 本題考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的定義，角平分線的性質，等腰直角三角形的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．