Question

【題目】如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，O為坐標原點，A、B兩點的坐標分別為（﹣3，0）、（0，4），拋物線y＝x2+bx+c經過B點，且頂點在直線y＝上．

(1)求拋物線對應的函數關系式；

(2)若△DCE是由△ABO沿x軸向右平移得到的，當四邊形ABCD是菱形時，試判斷點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由．

(3)在(2)的條件下，若M點是CD所在直線下方該拋物線上的一個動點，過點M作MN平行于y軸交CD于點N．設點M的橫坐標為t，MN的長度為s，求s與t之間的函數關系式，寫出自變量t的取值范圍，并求s取大值時，點M的坐標．

Answer 1

【答案】(1)y＝x2﹣x+4；(2)點C和點D在所求拋物線上；(3)s＝﹣（t﹣）2+，當s最大時，此時點M的坐標為（，）．

【解析】

（1）已知了拋物線上A、B點的坐標以及拋物線的對稱軸方程，可用待定系數法求出拋物線的解析式．

（2）首先求出AB的長，將A、B的坐標向右平移AB個單位，即可得出C、D的坐標，再代入拋物線的解析式中進行驗證即可．

（3）根據C、D的坐標，易求得直線CD的解析式；那么線段MN的長實際是直線BC與拋物線的函數值的差，可將x=t代入兩個函數的解析式中，得出的兩函數值的差即為l的表達式，由此可求出l、t的函數關系式，根據所得函數的性質即可求出l取最大值時，點M的坐標．

(1)∵y＝x2+bx+c的頂點在直線x＝上，

∴可設所求拋物線對應的函數關系式為y＝（x﹣）2+m，

∵點B（0，4）在此拋物線上，

∴4＝（0﹣）2+m，

∴m＝﹣，

∴所求函數關系式為：y＝（x﹣）2﹣＝x2﹣x+4；

(2)在Rt△ABO中，OA＝3，OB＝4，

∴AB＝＝5．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴BC＝CD＝DA＝AB＝5，

∵A、B兩點的坐標分別為（﹣3，0））、（0，4），

∴C、D兩點的坐標分別是（5，4）、（2，0）；

當x＝5時，y＝×52﹣×5+4＝4，

當x＝2時，y＝×22﹣×2+4＝0，

∴點C和點D在所求拋物線上；

(3)設直線CD對應的函數關系式為y＝kx+n，

則，

解得：；

∴y＝x﹣．

∵MN∥y軸，M點的橫坐標為t，

∴N點的橫坐標也為t；

則yM＝t2﹣t+4，yN＝t﹣，

∴s＝yN﹣yM＝（t﹣）﹣（t2﹣t+4）

＝﹣（t﹣）2+，

∵﹣＜0，

∴當t＝時，s最大＝，此時yM＝×（）2﹣×+4＝．

此時點M的坐標為（，）．