Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（3，0），與y軸交于C（0，3），拋物線頂點為D點．

(1)求此拋物線解析式；

(2)如圖1，點P為拋物線上的一個動點，且在對稱軸右側，若△ADP面積為3，求點P的坐標；

(3)在(2)的條件下，PA交對稱軸于點E，如圖2，過E點的任一條直線與拋物線交于M，N兩點，直線MD交直線y＝﹣3于點F，連結NF，求證：NF∥y軸．

Answer 1

【答案】(1)拋物線解析式為：y＝x2﹣4x+3；(2)P（4，3）；(3)證明見解析.

【解析】

（1）利用待定系數法確定函數關系式；

（2）利用待定系數法求得直線AD的解析式，根據函數圖象上點的坐標特征可以設P（t，t2-4t+3），R（t，-t+1）．如圖1，過點P作PR∥y交AD的延長線于R，由此得到S△ADP=S△APR-S△PDR=PR（t-1）-PR（t-2）=3，PR=6，所以利用關于t的方程求得點P的坐標；

（3）欲證明NF∥y軸，只需求得點N、F的橫坐標相等即可．

(1)把A（1，0），B（3，0），C（0，3）分別代入y＝ax2+bx+c，得

，

解得，

所以，該拋物線解析式為：y＝x2﹣4x+3；

(2)由(1)知，該拋物線解析式為：y＝x2﹣4x+3，

∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，

∴頂點D的坐標是（2，﹣1）．

如圖1，過點P作PR∥y交AD的延長線于R，

由A（1，0），D（2，﹣1）易得直線AD的解析式為：y＝﹣x+1．

設P（t，t2﹣4t+3），R（t，﹣t+1）．

∴PR＝t2﹣3t+2．

∵△ADP面積為3，

∴S△ADP＝S△APR﹣S△PDR＝PR（t﹣1）﹣PR（t﹣2）＝3，

∴PR＝6，即t2﹣3t+2＝6，

解得t1＝4，t2＝0（舍去）．

此時t2﹣4t+3＝42﹣4×4+3＝3，

∴P（4，3）；

(3)證明：∵P（4，3），A（1，0），

∴直線AP為y＝x﹣1，

把x＝2代入，y＝1，

故E（2，1）．

設直線MN的解析式為：y＝kx﹣2k+1．

聯立方程組，得，

消去y，得x2﹣（4+k）x+2+2k＝0，

解得x1＝，x2＝，

∴M（，），xN＝．

∴直線MN的解析式為y＝（x﹣2）﹣1．

令y＝﹣3，得xF＝，

即：xN＝xF，

∴NF∥y軸．