Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線y＝﹣x+2與x軸交于點B，與y軸交于點C，二次函數y＝﹣+bx+c的圖象經過B，C兩點，且與x軸的負半軸交于點A．

(1)求二次函數的表達式；

(2)如圖1，點D是拋物線第四象限上的一動點，連接DC，DB，當S△DCB＝S△ABC時，求點D坐標；

(3)如圖2，在(2)的條件下，點Q在CA的延長線上，連接DQ，AD，過點Q作QP∥y軸，交拋物線于P，若∠AQD＝∠ACO+∠ADC，請求出PQ的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）6

【解析】

（1）先求出B、C的坐標，然后代入二次函數的解析式，解方程組即可；

(2)過D作DG⊥x軸于G，過C作CF⊥DG于F，過B作BE⊥CF于E．設D（x，y），則x＞0，y＜0．求出S△ABC．根據S△CBD=S△CDF－S△CEB－S梯形EBDF解方程解得到x的值，從而得到D的坐標；

(3)連接AD，過D作DM⊥x軸于M．先求出直線CD的解析式為y=－x+2，得到CO=OR=2，則∠ORC=45°．再證明∠AQD=45°．通過勾股定理的逆定理得到AC2+AD2= DC2，即有∠CAD=90°，從而有△AQD是等腰直角三角形，由等腰三角形的性質得到AQ=AD．通過證明△QAN≌△ADM，得到NA，QN的長，進而得到ON=4，即可得到N（－4，0），則P點橫坐標為x=-4，代入二次函數即可得到y的值，從而得到結論．

（1）在中，令y=0，解得：x=4，∴B(4，0)，令x=0，得：y=2，∴C(0，2)．把B(4，0)，C(0，2)代入中，得：，解得：，∴二次函數的表達式為：．

(2)過D作DG⊥x軸于G，過C作CF⊥DG于F，過B作BE⊥CF于E．設D（x，y）．

∵D在第四象限，∴x＞0，y＜0．

∵B（4，0），C(0，2)，∴CE=OB=4，CO=BE=FG=2，EF=BG=x-4，DF=DG+FG=2-y，S△ABC=AB×OC=×（4+1）×2=5．

S△CBD=S△CDF－S△CEB－S梯形EBDF=，化簡得：x+2y=－1．

∵D（x，y）在二次函數上，∴，化簡得：，∴（x－5）（x+1）=0，∴x=5或x=－1（舍去）．

當x=5時，y==－3，∴D（5，－3）．

(3)如圖，連接AD，過D作DM⊥x軸于M．設直線CD的解析式為y=kx+b，把C（0，2），D（5，－3）代入得到：，解得：，∴直線CD的解析式為y=－x+2，令y=0，解得：x=2，∴R(2，0)，∴CO=OR=2，∴∠ORC=45°．

∵∠ACO+∠CAO=90°，∠CAO+∠OAD=90°，∴∠ACO=∠OAD，∴∠ACO+∠ADC=∠OAD+∠ADC=∠ARC=45°，∴∠AQD=45°．

∵AC2=12+22=5，AD2=(5+1)2+32=45，DC2=52+(2+3)2=50，∴AC2+AD2=5+45=50= DC2，∴∠CAD=90°，∴∠QAD=90°．

∵∠AQD=45°，∴△AQD是等腰直角三角形，∴AQ=AD．

∵∠QAD=90°，∴∠NAQ+∠DAM=90°．

∵∠NAQ+∠AQN=90°，∴∠AQN=∠MAD．在△QAN和△ADM中，∵∠AQN=∠MAD，∠QNA=∠AMD=90°，AQ=AD，∴△QAN≌△ADM，∴NA=DM=3，QN=AM=6，∴ON=4，∴N（－4，0）．設P（x，y）．

∵QP∥y軸，∴P點橫坐標為x=-4，∴y==－12，∴PN=12，∴PQ=PN-QN=12－6=6．