Question

【題目】如圖，點是的內心，的延長線和的外接圓相交于點，交于．

（1）若，，求的度數；

（2）求證：；

（3）若，，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）由三角形的內心定義和同弧所對的圓周角相等即可解答；

（2）連接BE，根據三角形的內心定義和同弧所對的圓周角相等證得∠DBE＝∠BED，從而依據等角對等邊即可證得；

（3）利用已知和角平分線的性質得，進而求得BF、CF的值，再證明△BDF∽△ACF和△DBF∽△DAB，利用相似三角形的性質得到關于BD的方程，解之即可解答﹒

（1）∵，，

∴∠BAC=180-∠ABC-∠C=60，

∵E是內心，

∴∠BAD＝∠CAD=∠BAC=30，

由同弧所對的圓周角相等得：

∠CBD=∠CAD=30；

（2）證明：連接BE，

∵E是內心，

∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD．

∵∠CBD＝∠CAD，

∴∠CBD＝∠BAD，

∵∠BAD+∠ABE＝∠BED，∠CBE+∠CBD＝∠DBE，

∴∠DBE＝∠BED，

∴ DE＝DB；

（3）∵∠BAD＝∠CAD，AB=6，AC=4，BC=5

∴

∴ BF=3，CF=2

∵∠DBC＝∠DAC，∠BFD=∠AFC

∴ △BDF∽△ACF

∴，

∴，

∵∠BAD＝∠CAD=∠DBC，∠BDF=∠ADB

∴ △DBF∽△DAB

∴，

∴，

∴，又BD=DE，

∴．