Question

【題目】（2015資陽）如圖，直線與軸、軸分別相交于兩點，與雙曲線相交于點軸于點，且，點的坐標為．

（1）求雙曲線的解析式；

（2）若點為雙曲線上點右側的一點，且軸于，當以點為頂點的三角形與相似時，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點的坐標為（4，1）或

【解析】

解：（1）∵直線與軸交于點，

，解得，

∴直線的解析式為，

由軸，且，

，解得，

∴點的坐標為（2，2），

∵點在反比例函數圖象上，

，

∴反比例函數解析式為．

（2）∵直線與軸交于點，

∴點的坐標為（0，1），

．

如解圖，過點作軸于，連接，

則．

∵點在反比例函數的圖象上，∴設點的坐標為，

則，

若與相似，

則有兩種可能，

（ⅰ），即，

，解得（舍去），

則點的坐標為（4，1）；

（ⅱ），即，

∴，

解得（舍去），

則點的坐標為．

綜上所述，點的坐標為（4，1）或．

【難點突破】要確定點的坐標，關鍵是得到點的縱坐標與橫坐標的關系，結合與相似，進行分類討論即可得到點的坐標．