Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，已知AB=BC=CD，∠BAD和∠CDA均為銳角，點F是對角線BD上的一點，EF∥AB交AD于點E，FG∥BC交DC于點G，四邊形EFGP是平行四邊形，給出如下結論：
①四邊形EFGP是菱形；
②△PED為等腰三角形；
③若∠ABD=90°，則△EFP≌△GPD；
④若四邊形FPDG也是平行四邊形，則BC∥AD且∠CDA=60°．
其中正確的結論的序號是（把所有正確結論的序號都填在橫線上）．

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：∵EF∥AB，

∴ = ，

∵FG∥BC，

∴ = ，

∴ = ，

∵AB=BC，

∴EF=FG，

∵四邊形EFGP是平行四邊形，

∴四邊形EFGP是菱形，故①正確；

∵BC=CD，

∴∠DBC=∠BDC，

∵FG∥BC，

∴∠DBC=∠DFG，

∴∠DFG=∠BDC，

∴FG=DG，

∵PG=FG=PE，

∴PG=DG，

∵無法證得△PDG是等邊三角形，

∴PD不一定等于PE，

∴△PED不一定是等腰三角形，故②錯誤；

∵∠ABD=90°，PG∥EF，

∴PG⊥BD，

∵FG=DG，

∴∠FGP=∠DGP．

∵四邊形EFGP是平行四邊形，

∴∠PEF=∠FGP．

∴∠DGP=∠PEF．

在△EFP和△GPD中

∴△EFP≌△GPD（SAS）．故③正確；

∵四邊形FPDG也是平行四邊形，

∴FG∥PD，

∵FG∥EP，

∴E、P、D在一條直線上，

∵FG∥BC∥PE，

∴BC∥AD，

∵四邊形FPDG也是平行四邊形，

∵FG=PD，

∵FG=DG=PG，

∴PG=PD=DG，

∴△PGD是等邊三角形，

∴∠CDA=60°．

∴四邊形ABCD還應滿足BC∥AD，∠CDA=60°．故④正確．

所以答案是①③④．

【考點精析】認真審題，首先需要了解菱形的判定方法(任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形)．