Question

【題目】如圖所示,在△ABC中,∠A=90°,點D是BC的中點,點E,F分別在AB,AC上,且∠EDF=90°,連接EF,求證:BE2+CF2=EF2.

Answer 1

【答案】見解析.

【解析】

過點C作CG∥AB交ED的延長線于點G,連接FG，易證△BDE≌△CDG，可得DE=DG,BE=CG，即可求得∠FCG=90°，根據勾股定理可得CG2+CF2=FG2，根據等量代換即可解題．

如圖,過點C作CG∥AB交ED的延長線于點G,連接FG.

∵CG∥AB,

∴∠B=∠DCG,∠BED=∠DGC.

∵BD=CD,

∴△BDE≌△CDG,(AAS)

∴DE=DG,BE=CG.

∵∠EDF=90°,

∴DF垂直平分EG,

∴EF=FG.

∵∠A=90°,

∴∠B+∠DCF=180°-90°=90°,

∴∠DCF+∠DCG=∠FCG=90°.

在Rt△CFG中,CG2+CF2=FG2,

即BE2+CF2=EF2.