Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，CD⊥AB于點G，E是CD上一點，且BE＝DE，延長EB至點P，連接CP，使PC＝PE，延長BE與⊙O交于點F，連結BD，FD．

（1）連結BC，求證：△BCD≌△DFB；

（2）求證：PC是⊙O的切線；

（3）若tanF＝，AG﹣BG＝，求ED的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）DE＝．

【解析】

（1）由BE=DE可知∠CDB=∠FBD，而∠BFD=∠DCB，BD是公共邊，結論顯然成立．

（2）連接OC，只需證明OC⊥PC即可．根據三角形外角知識以及圓心角與圓周角關系可知∠PEC=2∠CDB=∠COB，由PC=PE可知∠PCE=∠PEC=∠COB，注意到AB⊥CD，于是∠COB+∠OCG=90°=∠OCG+∠PEC=∠OCP，結論得證．

（3）由于∠BCD=∠F，于是tan∠BCD=tanF=，設BG=2x，則CG=3x．注意到AB是直徑，連接AC，則∠ACB是直角，由射影定理可知CG2=BGAG，可得出AG的表達式（用x表示），再根據AG-BG=求出x的值，從而CG、CB、BD、CD的長度可依次得出，最后利用△DEB∽△DBC列出比例關系算出ED的值．

解：（1）證明：因為BE＝DE，

所以∠FBD＝∠CDB，

在△BCD和△DFB中：

∠BCD＝∠DFB

∠CDB＝∠FBD

BD＝DB

所以△BCD≌△DFB（AAS）．

（2）證明：連接OC．

因為∠PEC＝∠EDB+∠EBD＝2∠EDB，

∠COB＝2∠EDB，

所以∠COB＝∠PEC，

因為PE＝PC，

所以∠PEC＝∠PCE，

所以∠PCE＝∠COB，

因為AB⊥CD于G，

所以∠COB+∠OCG＝90°，

所以∠OCG+∠PEC＝90°，

即∠OCP＝90°，

所以OC⊥PC，

所以PC是圓O的切線．

（3）因為直徑AB⊥弦CD于G，

所以BC＝BD，CG＝DG，

所以∠BCD＝∠BDC，

因為∠F＝∠BCD，tanF＝，

所以∠tan∠BCD＝＝，

設BG＝2x，則CG＝3x．

連接AC，則∠ACB＝90°，

由射影定理可知：CG2＝AGBG，

所以AG＝，

因為AG﹣BG＝，

所以，

解得x＝，

所以BG＝2x＝，CG＝3x＝，

所以BC＝，

所以BD＝BC＝，

因為∠EBD＝∠EDB＝∠BCD，

所以△DEB∽△DBC，

所以，

因為CD＝2CG＝，

所以DE＝．