Question

【題目】如圖所示，E是矩形ABCD的邊BC上一點，EF⊥AE，分別交AC，CD于點M，F，BG⊥AC，垂足為G，BG交AE于點H．

（1）求證：△ABE∽△ECF；

（2）找出與△ABH相似的三角形，并證明；

（3）若E是BC中點，BC=2AB，AB=4，求EM的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）△ABH∽△ECM，詳見解析；（3）

【解析】

（1）利用矩形的性質與EF⊥AE，證明∠BAE=∠CEF，從而可得答案，

（2）利用矩形的性質與BG⊥AC，證明∠ABH=∠ECM，結合（1）的結論可得答案，

（3）首先作MR⊥BC，垂足為R，由AB：BC=MR：RC=1：2，∠AEB=45°，即可求得MR的長，又由EM=即可求得答案．

解：1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABE=∠ECF=90°．

∵AE⊥EF，

∴∠AEB+∠FEC=90°．∠AEB+∠BAE=90°，

∴∠BAE=∠CEF，

∴△ABE∽△ECF；

（2）△ABH∽△ECM．理由如下：

證明：∵BG⊥AC，

∴∠ABG+∠BAG=90°，

∴∠ABH=∠ECM，

由（1）知，∠BAH=∠CEM，

∴△ABH∽△ECM；．

（3）解：作MR⊥BC，垂足為R，

∵E是BC中點，BC=2AB，AB=4，

AB=BE=EC=4，∠AEB=45°，∠MER=45°，

∴AB：BC=MR：RC=，

∴CR=2MR，

∴MR=ER=

∴在Rt△EMR中，

EM=