Question

【題目】已知a、b是正實數，那么， 是恒成立的．
（1）由 恒成立，說明 恒成立；
（2）已知a、b、c是正實數，由 恒成立，猜測： 也恒成立；
（3）如圖，已知AB是直徑，點P是弧上異于點A和點B的一點，PC⊥AB，垂足為C，AC=a，BC=b，由此圖說明 恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵（ ）2≥0，

∴a﹣2 +b≥0，

∴a+b≥2 ，

∴ ≥

（2）解： ；

理由：a3+b3+c3﹣3abc

=（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）

= （a+b+c）（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）

= （a+b+c）[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]

∵a、b、c是正實數，

∴a3+b3+c3﹣3abc≥0，

∴a3+b3+c3≥3abc，

同理： 也恒成立；

故答案為：

（3）解：如圖，連接OP，

∵AB是直徑，

∴∠APB=90°，

又∵PC⊥AB，

∴∠ACP=∠APB=90°，

∴∠A+∠B=∠A+∠APC=90°，

∴∠APC=∠B，

∴Rt△APC∽Rt△PBC，

∴ ，

∴PC2=ACCB=ab，

∴PC= ，

又∵PO= ，

∵PO≥PC，

∴ ．

【解析】（1）由（ ）2≥0，利用完全平方公式，即可證得 恒成立；（2）由a3+b3+c3﹣3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）= （a+b+c）[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]，可證得a3+b3+c3≥3abc，即可得 也恒立；（3）首先證得Rt△APC∽Rt△PBC，由相似三角形的對應邊成比例，可求得PC的值，又由OP是半徑，可求得OP= ，然后由點到線的距離垂線段最短，即可證得 恒成立．
【考點精析】通過靈活運用圓周角定理和相似三角形的判定與性質，掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題．