Question

【題目】平面直角坐標系xOy中，點A、B分別在函數y1=（x＞0）與y2=（x＜0）的圖象上，A、B的橫坐標分別為a、b．

（1）若AB∥x軸，求△OAB的面積；

（2）若△OAB是以AB為底邊的等腰三角形，且a+b0，求ab的值；

（3）作邊長為3的正方形ACDE，使AC∥x軸，點D在點A的左上方，那么，對大于或等于4的任意實數a，CD邊與函數y1=（x＞0）的圖象都有交點，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）S△OAB=4；（2）ab=﹣4；（3）見解析.

【解析】

（1）如圖1，AB交y軸于C，由于AB∥x軸，根據k的幾何意義得到S△OAC＝2，S△OBC＝2，所以S△OAB＝S△OAC+S△OBC＝4；

（2）根據函數圖象上點的坐標特征得A、B的縱坐標分別為，根據兩點間的距離公式得到，則利用等腰三角形的性質得到a2+（）2＝b2+（﹣）2，變形得到（a+b）（a﹣b）（1﹣）＝0，由于a+b≠0，a＞0，b＜0，所以1﹣＝0，易得ab＝﹣4；

（3）由于a≥4，AC＝3，則可判斷直線CD在y軸的右側，直線CD與函數y1＝（x＞0）的圖象一定有交點，設直線CD與函數y1＝（x＞0）的圖象交點為F，由于A點坐標為（a，），正方形ACDE的邊長為3，則得到C點坐標為（a﹣3，），F點的坐標為（a﹣3，），所以FC＝，然后比較FC與3的大小，由于3﹣FC＝3﹣，而a≥4，所以3﹣FC≥0，于是可判斷點F在線段DC上．

解：（1）如圖，AB交y軸于P，

∵AB∥x軸，

∴S△OAC=×|4|=2，S△OBC=×|﹣4|=2，

∴S△OAB=S△OAC+S△OBC=4；

（2）∵A、B的橫坐標分別為a、b，

∴OA2=a2+（）2，OB2=b2+（﹣）2，

∵△OAB是以AB為底邊的等腰三角形，

∴OA=OB，

∴a2+（）2=b2+（﹣）2

∴（a+b）（a﹣b）（1﹣）=0，

∵a+b≠0，a＞0，b＜0，

∴1﹣=0，

∴ab=﹣4

（3）∵a≥4，而AC=3，

∴直線CD在y軸的右側，直線CD與函數y1=（x＞0）的圖象一定有交點，

設直線CD與函數y1=（x＞0）的圖象交點為F，如圖，

∵A點坐標為（a，），正方形ACDE的邊長為3，

∴C點坐標為（a﹣3，），

∴F點的坐標為（a﹣3，），

∴FC=﹣

∵3﹣FC=3﹣，

而a≥4，

∴3﹣FC≥0，即FC≤3，

∵CD=3，

∴點F在線段DC上，

即對大于或等于4的任意實數a，CD邊與函數y1=（x＞0）的圖象都有交點