Question

【題目】在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD邊上的兩個動點，∠EAF＝45°，下列幾個結論中：①EF＝BE＋DF；②MN2＝BM2＋DN2；③FA平分∠DFE；④連接MF，則△AMF為等腰直角三角形；⑤∠AMN＝∠AFE． 其中一定成立的結論有（ ）

A.2個B.3個C.4個D.5個

Answer 1

【答案】D

【解析】

通過圖形的旋轉，得到，證明，可得①正確；將繞點A逆時針旋轉得到，連接NG，證得，可得②正確；根據可得③正確；由∠BDC=∠MAN=45°，可得點A，M，F，D四點共圓，進而可得到④正確；通過證明三角形相似可得⑤正確；

∵四邊形ABCD正方形，

∴AB=AD，，

∴將繞點A逆時針旋轉得到，如圖所示，

則AH=AE，，

∴，

∴，

∵AF=AF，

∴，

∴EF=FH=DF+DH=DF+BE，故①正確；

如圖所示，

將繞點A逆時針旋轉得到，連接NG，易證，是直角三角形，

∴MN=GN，

∴,故②正確；

由①可得，，

∴，

∴FA平分∠DFE，故③正確；

∵BD是正方形ABCD的對角線，

∴∠BDC=45°，

∵∠MAN=45°，

∴∠BDC=∠MAN，

∴點A，M，F，D四點共圓，

∵∠ADF=90°，

∴∠AMF=90°，

∴則△AMF為等腰直角三角形，故④正確；

由∠MAN＝∠FDN=45°，，可得到，

∴,

又∵，

∴∠AMN＝∠AFE，故⑤正確；

故答案選D．