Question

【題目】如圖1，P為等邊△ABC的邊AB上一點，Q為BC延長線上一點，且PA=CQ，連PQ交AC邊于

點D．

（1）證明：PD=DQ．

（2）如圖2，過P作PE⊥AC于E，若AB=2，求DE的長．

Answer 1

【答案】答案見解析.

【解析】

(1）利用平行線的性質結合全等三角形的判定與性質得出即可；

（2）過P作PF∥BC交AC于F，得出等邊三角形APF，推出AP=PF=QC，根據等腰三角形性質求出EF=AE，證△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE= AC即可．

證明：如圖1，過點P作PF∥BC交AC于點F；

∵PF∥BC，

∴△APF∽△ABC，
又∵△ABC是等邊三角形，

∴△APF是等邊三角形，

∴∠APF=∠BCA=60°，AP=PF=AF=CQ，

∴∠FDP=∠DCQ，∠FDP=∠CDQ，

∵在△PDF和△QDC中，

∴△PDF≌△QDC（AAS），

∴PD=DQ；

（2）解：如圖2，過P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等邊三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等邊三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ．
由（1）可知∴△PFD≌△QCD（AAS），

∴FD=CD，

∵AE=EF，

∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DE= AC，又∵AC=2，

∴DE=1．