Question

【題目】我們定義：如圖1，在中，把AB繞點A順時針旋轉得到，把AC繞點A逆時針旋轉得到，連接當時，我們稱是的“旋補三角形”， 邊上的中線AD叫做的“旋補中線”，點A叫做“旋補中心”．

特例感知：

在圖2，圖3中，是的“旋補三角形”，AD是的“旋補中線”．

如圖2，當為等邊三角形時，AD與BC的數量關系為______BC；

如圖3，當，時，則AD長為______．

猜想論證：

在圖1中，當為任意三角形時，猜想AD與BC的數量關系，并給予證明．

拓展應用

如圖4，在四邊形ABCD，，，，，在四邊形內部是否存在點P，使是的“旋補三角形”？若存在，給予證明，并求的“旋補中線”長；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①;②4；（2）結論：．詳見解析；（3）的“旋補中線”長．

【解析】

(1)①首先證明是含有是直角三角形，可得即可解決問題；②首先證明≌，根據直角三角形斜邊中線定理即可解決問題；(2)結論：如圖1中，延長AD到M，使得，連接，，首先證明四邊形是平行四邊形，再證明≌，即可解決問題；(3)存在如圖4中，延長AD交BC的延長線于M，作于E，作線段BC的垂直平分線交BE于P，交BC于F，連接PA、PD、PC，作的中線連接DF交PC于想辦法證明，，再證明，即可得出結論．

(1)①如圖2中，

是等邊三角形，

，

，

，

，，

，

，

，

故答案為．

②如圖3中，

，，

，

，，

≌，

，

，

，

故答案為4．

結論：．

理由：如圖1中，延長AD到M，使得，連接，

，，

四邊形是平行四邊形，

，

，，

，，

≌，

，

．

存在．

理由：如圖4中，延長AD交BC的延長線于M，作于E，作線段BC的垂直平分線交BE于P，交BC于F，連接PA、PD、PC，作的中線PN．

連接DF交PC于O．

，

，

在中，，，，

，，，

在中，，，，

，

，

，

，，

，，

在中，，，

，

，

，

，

，

，，

易證≌，

，，

四邊形CDPF是矩形，

，

，

是等邊三角形，

，，

，

，

是的“旋補三角形”，

．

的“旋補中線”長．