Question

【題目】已知：如圖，四邊形ABCD四條邊上的中點分別為E．F．G．H，順次連接EF．FG．GH．HE，得到四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點四邊形）．

（1）四邊形EFGH的形狀是 ，證明你的結論．

（2）當四邊形ABCD的對角線滿足 條件時，四邊形EFGH是矩形；

（3）結合問題（2），請做出圖形并且證明

Answer 1

【答案】(1)平行四邊形，證明見解析；(2)互相垂直；(3)見解析；

【解析】

(1)先觀察四邊形EFGH的形狀，利用中位線，發現可以證明四邊形有一組對邊平行且相等，即可得到答案；

(2)考慮平行四邊形變到矩形的條件，即可得到答案；

(3)利用等量關系由AC⊥BD證EH⊥HG即可得到答案．

解：(1)四邊形EFGH的形狀是平行四邊形，理由如下：

如圖，連接BD，

∵E、F是AB、AD的中點，

∴EH∥BD，，

同理可得：FG∥BD，，

∴EF∥FG，（等量替換），

∴四邊形EFGH的形狀是平行四邊形（由一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）.

(2)當四邊形ABCD的對角線相互垂直時，四邊形EFGH是矩形；

(3)證明(2)，理由如下，作圖如下：

如圖，連接AC、BD，

∵四邊形ABCD四條邊上的中點分別為E．F．G．H，

∴EH∥BD，HG∥AC，

又∵四邊形ABCD的對角線相互垂直，即AC⊥BD，

∴EH⊥HG，

又∵四邊形EFGH的形狀是平行四邊形，

∴四邊形EFGH的形狀是矩形（有個一角是直角的平行四邊形是矩形）．