Question

【題目】如圖所示，拋物線yx2bxc與直線yx3分別交于x軸，y軸上的B，C兩點(diǎn)，設(shè)該拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為D，連接CD交x軸于點(diǎn)E．

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）求該拋物線的對稱軸和D點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)F，G是對稱軸上兩個動點(diǎn)，且FG=2，點(diǎn)F在點(diǎn)G的上方，請直接寫出四邊形ACFG的周長的最小值；

（4）連接BD，若P在y軸上，且∠PBC=∠DBA+∠DCB，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線；（3）；（4）點(diǎn)P的坐標(biāo)為或

【解析】

（1）先根據(jù)直線求出B,C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求拋物線的表達(dá)式即可；

（2）將拋物線的表達(dá)式變?yōu)轫旤c(diǎn)式，即可得到對稱軸和D點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）因?yàn)?/span>AC,FG的值固定，所以只需找到的最小值即可，過點(diǎn)C作拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)，將向下平移2個單位使F與點(diǎn)G重合，得到，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時，最小，最小值即為的長度，通過勾股定理求出的值即可求解；

（4）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在y軸正半軸時和當(dāng)點(diǎn)P在y軸負(fù)半軸時，首先通過銳角三角函數(shù)得出，從而得出，設(shè)，則，通過建立一個關(guān)于m的方程解方程即可求出PC的值，進(jìn)而OP的長度即可，則P的坐標(biāo)可求．

解：（1）令，則，

令，則，解得，

，

將點(diǎn)代入中得，

，

解得

∴拋物線的解析式為；

（2）∵，

∴拋物線的對稱軸為，；

（3）∵拋物線的對稱軸為，,

，

∵，

∵四邊形ACFG的周長為，而，

∴只需找到的最小值即可，

過點(diǎn)C作拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)，將向下平移2個單位使F與點(diǎn)G重合，得到，則，

當(dāng)三點(diǎn)共線時，最小，最小值即為的長度，

，拋物線對稱軸為，

，

，

，

，

∴四邊形ACFG的周長的最小值為；

（4）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在y軸正半軸時，過點(diǎn)P作交BC的延長線于點(diǎn)Q，

∵，

．

設(shè)直線的解析式為，

將代入解析式中得

，

解得，

∴直線CB解析式為，

令，則，解得，

∴，

，

．

，

，

，

．

，

．

，

.

設(shè)，則，

，

，

解得，

，

，

；

當(dāng)點(diǎn)P在y軸負(fù)半軸時，如圖，

同理可得．

設(shè)，則，

，

，

解得，

，

，

，

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．