Question

【題目】如圖1，直線與軸交于點，與軸交于點，以為直徑作，點為線段上一動點(與點O、A不重合)，作于，連結并延長交于點．

（1）求點的坐標和的值；

（2）設．

①當時，求的值及點的坐標；

②求關于的函數表達式．

（3）如圖2，連接，當點在線段上運動時，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；=；（2）①，點的坐標為；②；（3）．

【解析】

（1）令x=0求出y值可得B點坐標，令y=0求出x值可得A點坐標；根據A、B坐標可知OA、OB的長，根據正切的定義即可得的值；

（2）①由x=1可得點C與點M重合，如圖1，連接，作于，設，則，由垂徑定理可得PA=PB，利用勾股定理可求出a值，根據正切的定義即可得出y值，可得PA的長，由AB是直徑可知，可得，即可求出AD、PD的長，利用面積法及勾股定理即可求出DH、PH的長，進而可得點D坐標；

②如圖2，作交軸于點，可得，可求出OE=2，根據平行線分線段成比例定理可得，可用x表示出OP的長，根據正切的定義即可得出y與x的關系式；

（3）如圖3，連接，由可證明，根據相似三角形的性質可得，即可證明，可得，進而可證明，根據相似三角形的性質可得，設，則，即可用t表示出，根據二次函數的性質即可求出的最大值．

（1）∵，

∴當時，，當時，，

∴，

∴OA=8，OB=4，

∵，

∴．

（2）①當時，，

∴，即點與重合，

如圖1，連接，作于，設，則，

在中，，

解得，

，

是的直徑，

∴

∴，

設PD=x，則AD=x，

∴x2+(x)2=52，

解得：x=3，（負值舍去）即PD=3，

∴AD=x=4，

，，

，

∵點D在第四象限，

∴點的坐標為

②如圖2，作交軸于點；

，

即

關于的函數表達式為

（3）如圖3，連接，

∵OA=8，OB=4，

∴AB=，

∵

，即，

，

，

，

，

設，則，

∴，

當時，的最大值為．