Question

【題目】如圖，已知一次函數的圖象與坐標軸分別交于A、B點，AE平分，交軸于點E．

（1）直接寫出點A和點B的坐標．

（2）求直線AE的表達式．

（3）過點B作BFAE于點F，過點F分別作FD//OA交AB于點D，FC//AB交軸于點C，判斷四邊形ACFD的形狀并說明理由，求四邊形ACFD的面積．

Answer 1

【答案】（1）A(0,6)，B(8,0)；（2）y=2x+6；（3）四邊形ACFD是菱形，證明見解析；S四邊形ACFD=20

【解析】

（1）一次函數，令x=0求出y值，可得A點坐標，令y=0，求出x值，可得B點坐標，此題得解；

（2）已知A，B點坐標，結合勾股定理可求出AB的長度，再利用角平分線的性質即可求出點E的坐標，根據點A、E的坐標利用待定系數法即可求出直線AE的表達式；

（3）過點B作BFAE于點F，過點F分別作FD//OA交AB于點D，FC//AB交軸于點C，連接CD交AF于點G，可得四邊形ACFD是平行四邊形，證明AD=DF，即可得到四邊形ACFD是菱形，證明△AOE∽△BFE，即可得到，，求得BF和EF，進而求得四邊形ACFD的面積．

（1）∵

當x=0時，y=6

∴A(0,6)

當y=0時，

解得x=8

∴B(8,0)

∴A(0,6)，B(8,0)

（2）過點E作EM⊥AB于D

∴OA=6，OB=8，

∴AB=

∵AE平分∠BAO，交x軸于點E

∴OE=ME

∴

∴

∴OE=BE

∵OE+BE=OB=8

∴OE=3，BE=5

∴點E的坐標為(3,0)

設直線AE的表達式為y=kx+b

將A(0,6)、E(3,0)代入y=kx+b

解得：

∴直線AE的表達式為y=2x+6

（3）過點B作BFAE于點F，過點F分別作FD//OA交AB于點D，FC//AB交軸于點C，連接CD交AF于點G

∵FD//OA，FC//AB

∴四邊形ACFD是平行四邊形

∴∠CAF=∠AFD

∵∠CAF=∠FAD

∴∠AFD=∠FAD

∴AD=DF

∴四邊形ACFD是菱形

∵∠AOE=∠BFE=90°，∠AEO=∠BEF

∴△AOE∽△BFE

∴

∵OE=3，OA=6

∴AE=

∴

∴BF=

∵四邊形ACFD是菱形

∴DG⊥AF，AG=GF

∴DG=BF=

∵

∴

∴EF=

∴AF=AE+EF=

S四邊形ACFD=AF×DG=

故答案為：四邊形ACFD是菱形，證明見解析；S四邊形ACFD=20