Question

【題目】如圖，在邊長為2的正方形中，點、分別是邊、上的兩個動點（與點、、不重合），且始終保持，，交正方形外角平分線于點，交于點，連結．

（1）求證：；

（2）證明：；

（3）設，當為何值時，，并求出此時的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）當時，；．

【解析】

（1）判斷出△PBQ是等腰直角三角形，然后求出∠APQ=∠QCE=135°，再根據同角的余角相等求出∠PAQ=∠CQE，再求出AP=CQ，然后利用“角邊角”證明即可；

（2）根據全等三角形對應邊相等可得AQ=EQ，判斷出△AQE是等腰直角三角形，將繞點順時針旋轉得，再證明；

（3）連結，設，推出是等腰直角三角形°，再證明，根據全等三角形對應邊相等可得QF=GF，，，分別用x表示出DF、CF、QF，然后列出方程求出x，再求出△AQF的面積．

（1）∵四邊形是正方形，

∴，，

∵，

∴是等腰直角三角形，，

∴，

∴

∵平分，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴．

∵．

∴．

∴．

（2）由（1）知．

∴．

∵，

∴是等腰直角三角形，

∴．

∴，

如圖4，將繞點順時針旋轉得，

其中點與點重合，且點在直線上，

則，，，

∴．

∴．

（3）連結，若，

則．

∴是等腰直角三角形，

∴，

∴．

∵，，

∴．

∴，，

∴垂直平分，

∴，，

∴．

在中，根據勾股定理，得．

解這個方程，得， （舍去）．

當時，．

此時，，∴，

∴