Question

【題目】如圖1．已知四邊形是矩形．點在的延長線上．與相交于點，與相交于點

求證：；

若，求的長；

如圖2，連接，求證：．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）由矩形的形及已知證得△EAF≌△DAB，則有∠E=∠ADB，進而證得∠EGB=90即可證得結論；

（2）設AE=x，利用矩形性質知AF∥BC，則有，進而得到x的方程，解之即可；

（3）在EF上截取EH=DG，進而證明△EHA≌△DGA，得到∠EAH=∠DAG，AH=AG，則證得△HAG為等腰直角三角形，即可得證結論．

（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD=∠EAD=90，AO=BC，AD∥BC，

在△EAF和△DAB，

，

∴△EAF≌△DAB(SAS)，

∴∠E=∠BDA，

∵∠BDA+∠ABD=90，

∴∠E+∠ABD=90，

∴∠EGB=90，

∴BG⊥EC；

（2）設AE=x，則EB=1+x，BC=AD=AE=x，

∵AF∥BC，∠E=∠E，

∴△EAF∽△EBC，

∴，又AF=AB=1，

∴即，

解得：，（舍去）

即AE=；

（3）在EG上截取EH=DG，連接AH，

在△EAH和△DAG，

，

∴△EAH≌△DAG(SAS)，

∴∠EAH=∠DAG，AH=AG，

∵∠EAH+∠DAH=90，

∴∠DAG+∠DAH=90，

∴∠EAG=90，

∴△GAH是等腰直角三角形，

∴即，

∴GH=AG，

∵GH=EG-EH=EG-DG，

∴．