Question

【題目】小明在學習等邊三角形時發現了直角三角形的一個性質：直角三角形中，角所對的直角邊等于斜邊的一半。小明同學對以上結論作了進一步探究.如圖1，在中，，則：.

探究結論：（1）如圖1，是邊上的中線，易得結論：為________三角形.

（2）如圖2，在中，是邊上的中線，點是邊上任意一點，連接，在邊上方作等邊，連接.試探究線段與之間的數量關系，寫出你的猜想加以證明.

拓展應用：如圖3，在平面直角坐標系中，點的坐標為，點是軸正半軸上的一動點，以為邊作等邊，當點在第一象內，且時，求點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）等邊；（2），證明詳見解析；（3）.

【解析】

（1）易證，因此是等邊三角形；

（2）連接，結合等邊三角形的性質，利用SAS可證，

由全等的性質知，結合等腰三角形三線合一的性質可得，

等量代換即得；

拓展應用：作軸于于，連接，易知AO、AH長，由題中結論可得，結合（2）中結論，利用HL定理可證，可知CF長，易得點C坐標.

解：（1）

是邊上的中線

是等邊三角形．

（2）結論：．

理由：連接．

∵都是等邊三角形 ，

，

，

，

，

，

∵，

，

∵，

拓展應用：作軸于于，連接．

∵，

由（2）可知，

∵，

.