Question

【題目】在等邊△ABC的外側作直線BD，作點A關于直線BD的對稱點A′，連接AA′交直線BD于點E，連接A′C交直線BD于點F．
（1）依題意補全圖1，已知∠ABD=30°，求∠BFC的度數；
（2）如圖2，若60°＜∠ABD＜90°，判斷直線BD和A′C相交所成的銳角的度數是否為定值？若是，求出這個銳角的度數；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：補全的圖1如下所示：

連接BA′，

∵由已知可得，BD垂直平分AA′，∠ABD=30°，△ABC是等邊三角形，

∴△BA′A是等邊三角形，AA′∥BC且AA′=BC，A′A=A′B，

∴四邊形AA′BC是菱形，

∵∠ACB=60°，

∴∠BCE=30°

（2）解：直線BD和A′C相交所成的銳角的度數是定值，若下圖所示，

連接AF交BC于點G，

由已知可得，BA′=BA，BA=BC，FA′=FA，

則∠BA′A=∠BAA′，∠FA′A=∠FAA′，BA′=BC，

∴∠BA′C=∠BCA′，∠FA′B=∠FAB，

∴∠BCA′=∠FAB，

∵∠FGC=∠BGA，∠ABC=60°，

∴∠CFA=∠ABC=60°，

∵∠AFC+∠AFD+∠A′FD=180°，∠A′FD=∠AFD，

∴∠A′FD=60°，

即直線BD和A′C相交所成的銳角的度數是定值，這個銳角的度數是60°

【解析】（1）根據題意可以作出相應的圖形，連接A′B，由題意可得到四邊形AA′BC是菱形，根據菱形的對角線平分每一組對角，可以得到∠BFC的度數；（2）畫出相應的圖形，根據對稱的性質可以得到相等的線段和相等的角，由等邊△ABC，可以得到BC=BA，然后根據三角形內角和是180°，可以推出直線BD和A′C相交所成的銳角的度數，本題得以解決．
【考點精析】利用等邊三角形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°．