Question

【題目】如圖是拋物線型拱橋,P處有一照明燈,水面OA寬4 m,從O,A兩處觀測P處,仰角分別為α,β,且tan α=,tan β=,以O為原點,OA所在直線為x軸建立平面直角坐標系.

(1)求點P的坐標.

(2)水面上升1 m,水面寬多少?(結果精確到0.1 m.參考數據: ≈1.41)

Answer 1

【答案】（1）點P的坐標為.（2）2.8m.

【解析】試題分析：（1）過點P作PB⊥OA,垂足為B.設點P的坐標為(x,y).運用三角函數可得根據條件可求出，即可得到點的坐標；
（2）若水面上升1m后到達位置，如圖，運用待定系數法可求出拋物線的解析式，然后求出時的值，就可解決問題．

試題解析： (1)如圖,過點P作PB⊥OA,垂足為B.設點P的坐標為(x,y).

在Rt△POB中,

tan α=,

OB==2y.

在Rt△PAB中,

tan β=,

AB=y.

OA=OB+AB,

即2y+y=4. y=. x=2×=3.

點P的坐標為.

(2)設這條拋物線表示的二次函數為y=ax2+bx.

由函數y=ax2+bx的圖象經過(4,0), 兩點,可得

解方程組,得

這條拋物線表示的二次函數為y=-x2+2x.

當水面上升1 m時,水面的縱坐標為1,即-x2+2x=1,

解方程,得x1=2-,x2=2+.

x2-x1=2+-(2-)=2≈2.8.

因此,水面上升1 m,水面寬約為2.8 m.