Question

【題目】如圖所示：已知中，，在內部作分別交于點

[操作]（1）將繞點逆時針旋轉，使邊與邊重合，把旋轉后點的對應點記作點，得到，請在圖中畫出;(不寫出畫法)

[探究]（2）在作圖的基礎上，連接， 求證：

[拓展]（3）寫出線段和之間滿足的數量關系，并簡要說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）MN2=BM2+NC2，理由見詳解.

【解析】

（1）根據旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度進行作圖即可；

（2）先根據SAS判定△MAN≌△QAN，進而得出結論；

（3）再由全等三角形和旋轉的性質，得出MN=NQ，MB=CQ，最后根據Rt△NCQ中的勾股定理得出結論；

解：（1）如圖，△ACQ即為所求；

（2）證明：由旋轉可得，△ABM≌△ACQ，

∴AM=AQ，∠BAM=∠CAQ
∵∠MAN=45°，∠BAC=90°

∴∠BAM+∠NAC=45°
∴∠CAQ+∠NAC=45°，即∠NAQ=45°
在△MAN和△QAN中
，

∴△MAN≌△QAN（SAS），
∴MN=NQ；
（3）MN2=BM2+NC2；

由（2）中可知，MN=NQ，MB=CQ，

又∠NCQ=∠NCA+ACQ=∠NCA+∠ABM=45°+45°=90°

在Rt△NCQ中，有

NQ2=CQ2+NC2，

即MN2=BM2+NC2；