Question

【題目】如圖所示是我國古代城市用以滯洪或分洪系統的局部截面原理圖，圖中OP為下水管道口直徑，OB為可繞轉軸O自由轉動的閥門．平時閥門被管道中排出的水沖開，可排出城市污水；當河水上漲時，閥門會因河水壓迫而關閉，以防河水倒灌入城中．若閥門的直徑OB＝OP＝100cm，OA為檢修時閥門開啟的位置，且OA＝OB．

（1）直接寫出閥門被下水道的水沖開與被河水關閉過程中∠POB的取值范圍；

（2）為了觀測水位，當下水道的水沖開閥門到達OB位置時，在點A處測得俯角∠CAB＝67.5°，若此時點B恰好與下水道的水平面齊平，求此時下水道內水的深度．（結果保留小數點后一位）

（＝1.41，sin67.5°＝0.92，cos67.5°＝0.38，tan67.5°＝2.41，sin22.5°＝0.38，cos22.5°＝0.92，tan22.5°＝0.41）

Answer 1

【答案】（1）0°≤∠POB≤90°；（2）此時下水道內水的深度約為29.5cm．

【解析】

（1）根據題意即可得到結論；
（2）根據余角的定義得到∠BAO=22.5°，根據等腰三角形的性質得到∠BAO=∠ABO=22.5°，由三角形的外角的性質得到∠BOP=45°，解直角三角形即可得到結論．

（1）閥門被下水道的水沖開與被河水關閉過程中∠POB的取值范圍為：0°≤∠POB≤90°；

（2）如圖，

∵∠CAB＝67.5°，

∴∠BAO＝22.5°，

∵OA＝OB，

∴∠BAO＝∠ABO＝22.5°，

∴∠BOP＝45°，

∵OB＝100，

∴OE＝OB＝50，

∴PE＝OP﹣OE＝100﹣50≈29.5cm，

答：此時下水道內水的深度約為29.5cm．