Question

【題目】定義：只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形，連結它的兩個非直角頂點的線段叫做這個損矩形的直徑.

【1】如圖1，損矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，則該損矩形的直徑是線段 .

【1】在線段AC上確定一點P，使損矩形的四個頂點都在以P為圓心的同一圓上(即損矩形的四個頂點在同一個圓上)，請作出這個圓，并說明你的理由. 友情提醒：“尺規作圖”不要求寫作法，但要保留作圖痕跡．

【1】如圖2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC為一邊向形外作菱形ACEF，D為菱形ACEF的中心，連結BD，當BD平分∠ABC時，判斷四邊形ACEF為何種特殊的四邊形？請說明理由. 若此時AB＝3，BD＝，求BC的長.

Answer 1

【答案】

【1】AC；

【1】作圖如圖；

∵點P為AC中點，∴PA＝PC＝AC.

∵∠ABC=∠ADC=90°，∴BP＝DP＝AC，∴PA＝PB＝PC＝PD，

∴點A、B、C、D在以P為圓心，AC為半徑的同一個圓上.

【1】∵菱形ACEF，∴∠ADC＝90°AE＝2AD，EC＝2CD，∴四邊形ABCD為損矩形，

∴由⑵可知，點A、B、C、D在同一個圓上.

∵ AM平分∠BAD，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∴AD＝CD，

∴四邊形ACEF為正方形.

∵點BD平分∠ABC，BD＝，∴點D到AB、BC的距離h為4，

∴＝6. ，

，，

∵，∴＋＝6＋2BC，

∴BC＝5或BC＝－3(舍去)，∴BC＝5.

【解析】當菱形的一個角為直角時就成為正方形，根據面積之間的關系可以求得BC＝5.