Question

【題目】如圖，在Rt△ABO中，∠BAO＝90°，AO＝AB，BO＝8，點A的坐標（﹣8，0），點C在線段AO上以每秒2個單位長度的速度由A向O運動，運動時間為t秒，連接BC，過點A作AD⊥BC，垂足為點E，分別交BO于點F，交y軸于點 D．

（1）用t表示點D的坐標　 　；

（2）如圖1，連接CF，當t＝2時，求證：∠FCO＝∠BCA；

（3）如圖2，當BC平分∠ABO時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）（0，2t）；（2）見解析；（3）t=4（﹣1）

【解析】

（1）由已知條件可證明△ABC≌△OAD，根據全等三角形的性質即可求出點D的坐標；

（2）由（1）的結論可證明△FOD≌△FOC，從而∠FCO＝∠FDO，再根據（1）中△ABC≌△OAD，可得∠ACB＝∠ADO，進而∠FCO＝∠ACB得證；

（3）在AB上取一點K，使得AK＝AC，連接CK．設AK＝AC＝m，則CK＝m，根據角平分線的性質和三角形外角和定理可得KB＝KC＝m，從而求得m的值，進而t的值也可求出.

解：（1）∵AD⊥BC，

∴∠AEB＝90°＝∠BAC＝∠AOD，

∴∠ABC+∠BAE＝90°，∠BAE+∠OAD＝90°，

∴∠ABC＝∠OAD，

∵AB＝OA，

∴△ABC≌△OAD（ASA），

∴OD＝AC＝2t，

∴D（0，2t）．

故答案為（0，2t）；

（2）如圖1中，

∵AB＝AO，∠BAO＝90°，OB＝，

∴AB＝AO＝8，

∵t＝2，

∴AC＝OD＝4，

∴OC＝OD＝4，

∵OF＝OF，∠FOD＝∠FOC，

∴△FOD≌△FOC（SAS），

∴∠FCO＝∠FDO，

∵△ABC≌△OAD，

∴∠ACB＝∠ADO，

∴∠FCO＝∠ACB；

（3）如圖2中，在AB上取一點K，使得AK＝AC，連接CK．設AK＝AC＝m，則CK＝m．

∵CB平分∠ABO，

∴∠ABC＝22.5°，

∵∠AKC＝45°＝∠ABC+∠KCB，

∴∠KBC＝∠KCB＝22.5°，

∴KB＝KC＝m，

∴m+m＝8，

∴m＝8（），

∴t＝＝4（﹣1）．