Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上不同于A、B的兩點，∠ABD=2∠BAC，過點C作CE⊥DB交DB的延長線于點E，直線AB與CE相交于點F．

（1）求證：CF為⊙O的切線；

（2）填空：當∠CAB的度數為________時，四邊形ACFD是菱形．

【答案】30°

【解析】（1）連結OC，如圖，由于∠A=∠OCA，則根據三角形外角性質得∠BOC=2∠A，而∠ABD=2∠BAC，所以∠ABD=∠BOC，根據平行線的判定得到OC∥BD，再CE⊥BD得到OC⊥CE，然后根據切線的判定定理得CF為⊙O的切線；
（2）根據三角形的內角和得到∠F=30°，根據等腰三角形的性質得到AC=CF，連接AD，根據平行線的性質得到∠DAF=∠F=30°，根據全等三角形的性質得到AD=AC，由菱形的判定定理即可得到結論．

答：

(1)證明：連結OC，如圖，

∵OA=OC，

∴∠A=∠OCA，

∴∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，

∵∠ABD=2∠BAC，

∴∠ABD=∠BOC，

∴OC∥BD，

∵CE⊥BD，

∴OC⊥CE，

∴CF為⊙O的切線;

(2)當∠CAB的度數為30°時，四邊形ACFD是菱形，理由如下：

∵∠A=30°，

∴∠COF=60°，

∴∠F=30°，

∴∠A=∠F，

∴AC=CF，

連接AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴AD⊥BD，

∴AD∥CF，

∴∠DAF=∠F=30°，

在△ACB與△ADB中,

，

∴△ACB≌△ADB，

∴AD=AC，

∴AD=CF，

∵AD∥CF，

∴四邊形ACFD是菱形。

故答案為：30°.

【題型】解答題
【結束】
22

【題目】經市場調查，某種商品在第x天的售價與銷量的相關信息如下表；已知該商品的進價為每件30元，設銷售該商品每天的利潤為y元．

（1）求出y與x的函數關系式

（2）問銷售該商品第幾天時，當天銷售利潤最大？最大利潤是多少？

（3）該商品銷售過程中，共有多少天日銷售利潤不低于4800元？直接寫出答案．

Answer 1

【答案】（1）當1≤x＜50時，y=﹣2x2+180x+2000，當50≤x≤90時，y=﹣120x+12000； （2）該商品第45天時，當天銷售利潤最大，最大利潤是6050元；（3）該商品在銷售過程中，共41天每天銷售利潤不低于4800元．

【解析】（1）根據單價乘以數量，可得利潤，可得答案；

（2）根據分段函數的性質，可分別得出最大值，根據有理數的比較，可得答案；

（3）根據二次函數值大于或等于4800，一次函數值大于或等于48000，可得不等式，根據解不等式組，可得答案．

解： （1）當1≤x<50時，y=（200-2x）（x+40-30）=-2x2+180x+2000，

當50≤x≤90時，y=（200-2x）（90-30）=-120x+12000；

（2）當1≤x<50時，二次函數開口向下，二次函數對稱軸為x=45，

當x=45時，y最大=-2×452+180×45+2000=6050，

當50≤x≤90時，y隨x的增大而減小，

當x=50時，y最大=6000，

綜上所述，該商品第45天時，當天銷售利潤最大，最大利潤是6050元；

（3）當1≤x<50時，y=-2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70，

因此利潤不低于4800元的天數是20≤x<50，共30天；

當50≤x≤90時，y=-120x+12000≥4800，解得x≤60，

因此利潤不低于4800元的天數是50≤x≤60，共11天，

所以該商品在銷售過程中，共41天每天銷售利潤不低于4800元．