Question

【題目】如圖，△ABC內接于半圓，AB是直徑，過A作直線MN，∠MAC=∠ABC，D是弧AC的中點，連接BD交AC于G，過D作DE⊥AB于E，交AC于F．

（1）求證：MN是半圓的切線；

（2）作DH⊥BC交BC的延長線于點H，連接CD，試判斷線段AE與線段CH的數量關系，并說明理由．

（3）若BC=4，AB=6，試求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AE=CH，理由見解析；（3）AE=1.

【解析】試題分析：（1）由AB是直徑得出∠ACB=90°，推出∠CAB+∠MAC=90°即可；

（2）連接AD，證明△ADE≌△CDH即可；

（3）由（2）可得出AE=CH，且DE=DH，可證得BE=BH，結合BC和AB的長可求出AE．

試題解析：（1）如圖所示，

∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°，

∵∠MAC=∠ABC，∴∠CAB+∠MAC=90°，

即∠MAB=90°，

∴MN是半圓的切線；

（2）AE=CH，理由如下：

連接AD，

∵D是的中點，∴AD=CD，∠HBD=∠ABD，

∵DE⊥AB，DH⊥BC，∴DE=DH，且∠AED=∠DHC，

在Rt△ADE和Rt△CDH中， ，∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL），

∴AE=CH；

（3）由（2）知DH=DE，∠DHB=∠DEB=90°，

在△RtDBH和Rt△DBE中， ，∴△RtDBH≌Rt△DBE（HL），

∴BE=BH，∴BA﹣AE=BC+CH，且AE=CH，∴BA﹣AE=BC+AE，

又∵AB=6，BC=4，∴6﹣AE=4+AE，

∴AE=1．