Question

【題目】如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2AD，點E，F分別是AB，BC邊的中點，連接AF，CE交于點M，連接BM并延長交CD于點N，連接DE交AF于點P，則結論：①∠ABN=∠CBN；②DE∥BN；③△CDE是等腰三角形；④EM：BE= ：3；⑤S△EPM= S梯形ABCD ， 正確的個數有（ ）

A.5個
B.4個
C.3個
D.2個

Answer 1

【答案】B
【解析】連接DF，AC，EF，如圖所示：

∵E、F分別為AB、BC的中點，且AB=BC，

∴AE=EB=BF=FC，

在△ABF和△CBE中，

，

∴△ABF≌△CBE（SAS），

∴∠BAF=∠BCE，AF=CE，

在△AME和△CMF中，

，

∴△AME≌△CMF（AAS），

∴EM=FM，

在△BEM和△BFM中，

，

∴△BEM≌△BFM（SSS），

∴∠ABN=∠CBN，選項①正確；

∵AE=AD，∠EAD=90°，

∴△AED為等腰直角三角形，

∴∠AED=45°，

∵∠ABC=90°，

∴∠ABN=∠CBN=45°，

∴∠AED=∠ABN=45°，

∴ED∥BN，選項②正確；

∵AB=BC=2AD，且BC=2FC，

∴AD=FC，又AD∥FC，

∴四邊形AFCD為平行四邊形，

∴AF=DC，又AF=CE，

∴DC=EC，

則△CED為等腰三角形，選項③正確；

∵EF為△ABC的中位線，

∴EF∥AC，且EF= AC，

∴∠MEF=∠MCA，∠EFM=∠MAC，

∴△EFM∽△CAM，

∴EM：MC=EF：AC=1：2，

設EM=x，則有MC=2x，EC=EM+MC=3x，

設EB=y，則有BC=2y，

在Rt△EBC中，根據勾股定理得：EC= = y，

∴3x= y，即x：y= ：3，

∴EM：BE= ：3，選項④正確；

∵E為AB的中點，EP∥BM，

∴P為AM的中點，

∴S△AEP=S△EPM= S△AEM，

又S△AEM=S△BEM，且S△BEM=S△BFM，

∴S△AEM=S△BEM=S△BFM= S△ABF，

∵四邊形ABFD為矩形，

∴S△ABF=S△ADF，又S△ADF=S△DFC，

∴S△ABF=S△ADF=S△DFC= S梯形ABCD，

∴S△EPM= S梯形ABCD，選項⑤錯誤．

則正確的個數有4個．

故答案為：B.

連接DF，AC，EF，如圖所示，由E、F分別為AB、BC的中點，且AB=BC，得到EB=FB，再由一對公共角相等，利用“SAS”可得出△ABF與△CBE全等，利用AAS可得出△AME與△CMF全等，由全等三角形的對應邊相等可得出ME=MF，再由BE=BF，BM=BM，利用SSS得到△BEM與△BFM全等，根據全等三角形的對應角相等可得出∠ABN=∠CBN，選項①正確；由AD=AE，梯形為直角梯形，得到∠EAD為直角，可得出△AED為等腰直角三角形，可得出∠AED為45°，由∠ABC為直角，且∠ABN=∠CBN，可得出∠ABN為45°，根據同位角相等可得出DE平行于BN，選項②正確；先得到AD=FC，又AD與FC平行，得到ADCF為平行四邊形，可得出AF=DC，又AF=CE，等量代換可得出DC=EC，即△DCE為等腰三角形，選項③正確；由EF為△ABC的中位線，得出△EFM與△ACM相似，進而可得出EM：MC=1：2，設EM=x，則有MC=2x，用EM+MC表示出EC，設EB=y，根據BC=2EB，表示出BC，在直角三角形BCE中，利用勾股定理表示出EC，兩者相等得到x與y的比值，即為EM與BE的比值，即可判斷選項④正確與否；由E為AB的中點，利用等底同高得到△AME的面積與△BME的面積相等，由△BME與△BFM全等，得到面積相等，可得出三個三角形的面積相等都為△ABF面積的，進一步可得出△AEP的面積等于△PEM的面積，得到△PEM的面積為△ABF面積的，由ABFD為矩形得到△ABF與△ADF全等，面積相等，由△ADF與△CFD全等得到面積相等，可得出三個三角形面積相等都為梯形面積的，綜上得到△PEM的面積為梯形面積的，可得出選項⑤錯誤，綜上，即可得到所求正確的個數．