Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C為AB上一點，作CD⊥AB交⊙O于D，連接AD，將△ACD沿AD翻折至△AC′D．

（1）請你判斷C′D與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）過點B作BB′⊥C′D′于B′，交⊙O于E，若CD= ，AC=3，求BE的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：C′D是⊙O的切線，

理由：連接OD，

∵OD=OA，

∴∠OAD=∠ADO，

∵將△ACD沿AD翻折至△AC′D，

∴∠C′DA=∠CDA，

∵CD⊥AB，

∴∠DAC+∠ADC=90°，

∴∠ADO+∠C′DA=90°，

∴OD⊥C′D，

∴C′D是⊙O的切線

（2）解：連接AE，BD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴AE⊥BE，AD⊥BD，

∵BB′⊥C′D′，

∴∠C′=∠B′=∠AEB′=90°，

∴四邊形AEB′C′是矩形，

∴AC′=B′E，AE=C′B′，

∵將△ACD沿AD翻折至△AC′D，

∵AC′=AC=3，C′D=CD= ，

∵AC′⊥C′B′，OD⊥C′B′，

∴AC′∥OD∥BB′，

∵AO=BO，

∴C′B′=2C′D=2 ，

∴AE=2 ，

∵DC⊥AB，

∴CD2=ACCB，

∴CB=7，

∴AB=10，

∴BE= =4．

【解析】（1）連接OD，根據等腰三角形的性質得到∠OAD=∠ADO，根據折疊的性質得到∠C′DA=∠CDA，于是得到結論；
（2）連接AE，BD，由AB是⊙O的直徑，得到AE⊥BE，AD⊥BD，推出四邊形AEB′C′是矩形，得到AC′=B′E，AE=C′B′，根據折疊的性質得到AC′=AC=3，C′D=CD=，根據平行線等分線段定理得到AO=BO，得到AE的值，根據射影定理得到CB=7，由勾股定理即可得到BE的長．
【考點精析】認真審題，首先需要了解勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2)，還要掌握垂徑定理(垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧)的相關知識才是答題的關鍵．