Question

【題目】如圖，拋物線 與 軸交于 、 兩點（點 在點 的左側），點 的坐標為 ，與 軸交于點 ，作直線 ．動點 在 軸上運動，過點 作 軸，交拋物線于點 ，交直線 于點 ，設點 的橫坐標為 ．
（Ⅰ）求拋物線的解析式和直線 的解析式；
（Ⅱ）當點 在線段 上運動時，求線段 的最大值；
（Ⅲ）當以 、 、 、 為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫出 的值．

Answer 1

【答案】解：（I）∵拋物線過A、C兩點，

∴代入拋物線解析式可得 ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3，

令y=0可得，﹣x2+2x+3=0，解x1=﹣1，x2=3，

∵B點在A點右側，

∴B點坐標為（3，0），

設直線BC解析式為y=kx+s，

把B、C坐標代入可得 ，解得 ，

∴直線BC解析式為y=﹣x+3；

（Ⅱ）∵PM⊥x軸，點P的橫坐標為m，

∴M（m，﹣m2+2m+3），N（m，- m+3），

∵P在線段OB上運動，

∴M點在N點上方，

∴MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣ ）2+ ，

∴當m= 時，MN有最大值，MN的最大值為 ；

（Ⅲ）∵PM⊥x軸，

∴MN∥OC，

當以C、O、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時，則有OC=MN，

當點P在線段OB上時，則有MN=﹣m2+3m，

∴﹣m2+3m=3，此方程無實數根，

當點P不在線段OB上時，則有MN=﹣m+3﹣（﹣m2+2m+3）=m2﹣3m，

∴m2﹣3m=3，解得m= 或m= ，

綜上可知當以C、O、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時，m的值為 或

【解析】（Ⅰ）利用待定系數法可求出拋物線的解析式和直線BC解析式；
（Ⅱ）點P的橫坐標為m，根據題意可用m表示出M、N的坐標，從而得出MN與m的函數關系式，再化成頂點式可求其最值；
（Ⅲ）當以C、O、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時，則有OC=MN，且OC∥MN，可得MN=﹣m+3﹣（﹣m2+2m+3）=m2﹣3m，即m2﹣3m=3，從而求出m的值.