Question

【題目】已知,等腰直角△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖,點A(0,a),點B(b,0)，點C在第四象限，且滿足a2+b2-4a+12b+40=0.

(1)求點C的坐標；

(2)若AC交x軸于M，BC交y軸于D，E是AC上一點，且CE=AM，連DM，求證：AD+DE=BM；

(3)在y軸上取點F(0,6),點H是y軸上F下方任一點,作HG⊥BH交射線CF于G,在點H位置變化的過程中,是否為定值，若是，求其值，若不是，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）C（2，-4） （2）見解析 （3）是定值，值為1

【解析】

（1）根據題意可求得A、B兩點坐標，作CT⊥y軸于T．只要證明△ABO≌△CAT，可得CT=OA=2，AT=OB=6，由此即可解決問題；
（2）如圖2中，作CK⊥AC交y軸于K．只要證明△ABM≌△CAK，△CDE≌△CDK即可解決問題；
（3）結論：=1．作AI⊥AF交FB的延長線于I，作HJ⊥BF于J，HK⊥GF于K．想辦法證明△HJB≌△HKG，可得BH=GH即可解決問題；

（1）∵a2+b2-4a+12b+40=0.

∴

∴a=2，b=-6

故A(0,2)，B(-6,0)

如圖1中，作CT⊥y軸于T．

∵∠AOB=∠BAC=∠ATC=90°，
∴∠ABO+∠BAO=90°，∠BAO+∠CAT=90°，
∴∠ABO=∠CAT，
∵AB=AC，
∴△ABO≌△CAT，
∴CT=OA=2，AT=OB=6，
∴OT=AT=AO=4，
∴C（2，-4）．
（2）如圖2中，作CK⊥AC交y軸于K．

∵∠BAM=∠ACK=90°，AB=AC，∠ABM=∠CAK，
∴△ABM≌△CAK，
∴AM=CK，BM=AK，
∵CE=AM，
∴CE=CK，
∵DC=DC，∠DCE=∠DCK，
∴△CDE≌△CDK，
∴DE=DK，
∴AD+DE=AD+DK=AK=BM．
（3）是定值.結論： =1．
理由：作AI⊥AF交FB的延長線于I，作HJ⊥BF交BF的延長線于J，HK⊥GF于K．

∵B（-6，0），F（0，-6），
∴OB=OF，
∴△BOF是等腰直角三角形，
∴∠AFB=45°，
∵AI⊥AF，
∴∠I=∠AFI=45°，
∴AI=AF，
∵∠BAC=∠IAF=90°，
∴∠IAB=∠FAC，
∵AI=AF，AB=AC，
∴△AIB≌△AFC，
∴∠CFA=∠I=45°
∴∠BFC=90°，
∵∠BFC=∠CFO=45°，∴∠GFH=∠HFJ=45°，
∴HK=HJ，
∵∠BFG=∠BHG，
∴∠HBF=∠HGF，
∴△HJB≌△HKG，
∴BH=GH，
∴=1．