Question

【題目】請閱讀下列材料：

問題：如圖1，點A，B在直線l的同側，在直線l上找一點P，使得AP+BP的值最小．

小明的思路是：如圖2所示，先作點A關于直線l的對稱點A′，使點A′，B分別位于直線l的兩側，再連接A′B，根據“兩點之間線段最短”可知A′B與直線l的交點P即為所求．

請你參考小明同學的思路，探究并解決下列問題：

（1）如圖3，在圖2的基礎上，設AA'與直線l的交點為C，過點B作BD⊥l，垂足為D．若CP=1，AC=1，PD=2，直接寫出AP+BP的值；

（2）將（1）中的條件“AC=1”去掉，換成“BD=4﹣AC”，其它條件不變，直接寫出此時AP+BP的值；

（3）請結合圖形，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）5；（3）．

【解析】

試題分析：（1）利用勾股定理求得PA，根據三角形相似對應邊成比例求得PB，從而求得PA+PB；

（2）作AE∥l，交BD的延長線于E，根據已知條件求得BE、A′E，然后根據勾股定理即可求得A′B，從而求得AP+BP的值；

（3）設AC=1，CP=m﹣3，得到AP=，設BD=2，DP=9﹣m，得到BP=，于是得到的最小值即為A′B的長，如圖，過A′作A′E⊥BD的延長線于點E．根據勾股定理即可得到結論．

解：（1）如圖2，∵AA′⊥l，AC=1，PC=1，

∴PA=，

∴PA′=PA=，

∵AA′∥BD，

∴∠A′=∠B，

∵∠A′PC=∠BPD，

∴△A′PC∽△BPD，

∴=，

∴=，

∴PB=2，

∴AP+PB=+2=3；

故答案為3；

（2）作AE∥l，交BD的延長線于E，如圖3，

則四邊形A′EDC是矩形，

∴AE=DC=PC+PD=3，DE=A′C=AC，

∵BD=4﹣AC，

∴BD+AC=BD+DE=4，

即BE=4，

在RT△A′BE中，A′B==5，

∴AP+BP=5，

故答案為5；

（3）設AC=1，CP=m﹣3，

∵A A′⊥L于點C，

∴AP=，

設BD=2，DP=9﹣m，

∵BD⊥L于點D，

∴BP=，

∴的最小值即為A′B的長．

即：A′B=的最小值．

如圖，過A′作A′E⊥BD的延長線于點E．

∵A′E=CD=CP+PD=m﹣3+9﹣m=6，BE=BD+DE=2+1=3，

∴A′B=的最小值

=

=

=，

∴的最小值為．