Question

【題目】請閱讀下列材料，并完成相應的任務．

在數學中，當問題的條件不夠時間，常添加輔助線構成新圖形，形成新關系，建立已知與未知的橋梁，從而把原問題轉化為易于解決的問題．在著名美籍匈牙利數學教波利亞所著的《數學的發現》一書中有這樣一個例子：試作一個三角形，使它的三邊長分別是各條中線長的三分之一，解決這個問題的步驟如下：

第一步，如圖1，己知的三條中線，和相交于點，則有．

下面是該結論的部分證明過程：

證明：如圖1，過點作的平分線，交的延長線于點，則．

又，

∴．

∴．

∵點是的中點，

∴．

……

第二步，同理可以證明：．

第三步，如圖2，取BM的中點，連接.則的三邊長分別是各條中線長的三分之一．

任務：（1）請在上面第一步中證明過程的基礎上完成對結論的證明；

（2）請完成第三步的結論的證明；

（3）請直接寫出圖2中與的面積比：_______．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）．

【解析】

（1）證明即可得到BM=GC，再由即可解答；

（2）根據得出，再得出，根據中位線的性質得出，進而得到即可；

（3）根據三角形中線將三角形的面積平分即可推出．

（1）解：∵，

∴.

∵是邊上的中線，

∴.

在和中，

∴（ASA），

∴BM=GC，

∴.

（2）證明：∵，

∴.

∵是的中點，

∴

∵，

∴

∵是的中點，

∴是的中位線，

則，又，

∴.

則的三邊長分別是各條中線長的三分之一．

（3）∵Q是BM 的中點，

∴S△BMD=2S△QMD，

∵AM=2MD

∴S△ABM=2S△BMD

∴S△ABD=3S△BMD=6S△QMD，

∵點D是BC中點，

∴S△ABC=2S△ABD=12 S△QMD，

故，

故答案為：．