Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分別是AB、AD的中點，DE、BF相交于點G，連接BD、CG．給出以下結論：①∠BGD＝120°；②BG+DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④S△ADE＝AB2．其中正確的有（　　）

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據菱形的性質和等邊三角形的判定可得△ABD為等邊三角形，然后根據三線合一可得DE⊥AB，BF⊥AD，根據四邊形的內角和即可判斷①；利用HL證出Rt△CDG≌Rt△CBG，根據全等三角形的性質和30°所對的直角邊是斜邊的一半即可判斷②；證出CG＞BD即可判斷③；利用等邊三角形的性質可得S△ABD＝AB2，即可判斷④．

解：∵四邊形ABCD為菱形，

∴AD＝AB，且∠A＝60°，

∴△ABD為等邊三角形，

又∵E、F分別是AB、AD的中點，

∴DE⊥AB，BF⊥AD，

∴∠GFA＝∠GEA＝90°，

∴∠BGD＝∠FGE＝360°﹣∠A﹣∠GFA﹣∠GEA＝120°，

∴①正確；

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴∠CDG＝∠CBG＝90°，

在Rt△CDG和Rt△CBG中，

，

∴Rt△CDG≌Rt△CBG（HL），

∴DG＝BG，∠DCG＝∠BCG＝∠DCB＝30°，

∴DG＝BG＝CG，

∴DG+BG＝CG，

∴②正確；

在Rt△BDF中，BD為斜邊，在Rt△CGB中，CG為斜邊，

且BD＝BC，在Rt△CGB中，顯然CG＞BC，即CG＞BD，

∴△BDF和△CGB不可能全等，

∴③不正確；

∵△ABD為等邊三角形，

∴S△ABD＝AB2，

∴S△ADE＝S△ABD＝AB2，

∴④不正確；

綜上可知正確的只有兩個，

故選：B．