Question

【題目】已知：如圖，以等邊的邊為直徑作，分別交，于點，，過點作交于點．

（1）求證：是的切線；

（2）若等邊的邊長為8，求由、、圍成的陰影部分面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）6﹣．

【解析】

（1）連接CD、OD，先利用等腰三角形的性質證AD＝BD，再證OD為△ABC的中位線得DO∥AC，根據DF⊥AC可得結論；

（2）連接OE，作OG⊥AC，求出EF、DF的長及∠DOE的度數，根據S陰影＝S梯形EFDO﹣S扇形DOE計算可得．

解：（1）連接CD、OD，

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠CDB=90°，即CD⊥AB，

又∵△ABC是等邊三角形，

∴AD=BD，

∵BO=CO，

∴DO是△ABC的中位線，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴DF⊥OD，

∴DF是⊙O的切線；

（2）連接OE，作OG⊥AC于點G，

∴∠OGF=∠DFG=∠ODF=90°，

∴四邊形OGFD是矩形，

∴FG=OD=4，

∵OC=OE=OD=OB，且∠ACB=∠B=60°，

∴△OBD和△OCE均為等邊三角形，

∴∠BOD=∠COE=60°，CE=OC=4，

∴EG=CE=2，DF=OG=OCsin60°=2，∠DOE=60°，

∴EF=FG﹣EG=2，

∴S陰影＝S梯形EFDO﹣S扇形DOE=×（2+4）×2﹣=6﹣．