Question

【題目】（發現問題）愛好數學的小明在做作業時碰到這樣的一道題目：

如圖①，點O為坐標原點，⊙O的半徑為1，點A（2，0）．動點B在⊙O上，連結AB，作等邊△ABC（A，B，C為順時針順序），求OC的最大值

（解決問題）小明經過多次的嘗試與探索，終于得到解題思路：在圖①中，連接OB，以OB為邊在OB的左側作等邊三角形BOE，連接AE．

（1）請你找出圖中與OC相等的線段，并說明理由；

（2）求線段OC的最大值．

（靈活運用）

（3）如圖②，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（2，0），點B的坐標為（5，0），點P為線段AB外一動點，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，求線段AM長的最大值及此時點P的坐標．

（遷移拓展）

（4）如圖③，BC＝4，點D是以BC為直徑的半圓上不同于B、C的一個動點，以BD為邊作等邊△ABD，請直接寫出AC的最值．

Answer 1

【答案】（1）結論：OC＝AE，理由見解析；（2）OC的最大值為3；（3）最大值為2+3；P（2﹣，）；（4）AC的最大值為2+2， 2﹣2．

【解析】

（1）結論：，只要證明即可；

（2）利用三角形的三邊關系即可解決問題；

（3）連接，將繞著點順時針旋轉得到，連接，得到是等腰直角三角形，根據全等三角形的性質得到，，根據當在線段的延長線時，線段取得最大值，即可得到最大值為，過作軸于，根據等腰直角三角形的性質，即可得到結論；

（4）如圖4中，以為邊作等邊三角形，由，推出，推出欲求的最大值，只要求出的最大值即可，由定值，，推出點在以為直徑的上運動，由圖象可知，當點在上方，時，的值最大.

（1）如圖①中，結論：OC＝AE，

理由：∵△ABC，△BOE都是等邊三角形，

∴BC＝BA，BO＝BE，∠CBA＝∠OBE＝60°，

∴∠CBO＝∠ABE，

∴△CBO≌△ABE，

∴OC＝AE．

（2）在△AOE中，AE≤OE+OA，

∴當E、O、A共線，

∴AE的最大值為3，

∴OC的最大值為3．

（3）如圖1，連接BM，

∵將△APM繞著點P順時針旋轉90°得到△PBN，連接AN，則△APN是等腰直角三角形，

∴PN＝PA＝2，BN＝AM，

∵A的坐標為（2，0），點B的坐標為（5，0），

∴OA＝2，OB＝5，

∴AB＝3，

∴線段AM長的最大值＝線段BN長的最大值，

∴當N在線段BA的延長線時，線段BN取得最大值（如圖2中）

最大值＝AB+AN，

∵AN＝AP＝2，

∴最大值為2+3；

如圖2，過P作PE⊥x軸于E，

∵△APN是等腰直角三角形，

∴PE＝AE＝，

∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝5﹣3﹣＝2﹣，

∴P（2﹣，）．

（4）如圖4中，以BC為邊作等邊三角形△BCM，

∵∠ABD＝∠CBM＝60°，

∴∠ABC＝∠DBM，∵AB＝DB，BC＝BM，

∴△ABC≌△DBM，

∴AC＝MD，

∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，

∵BC＝4＝定值，∠BDC＝90°，

∴點D在以BC為直徑的⊙O上運動，

由圖象可知，當點D在BC上方，DM⊥BC時，DM的值最大，最大值＝2+2，

∴AC的最大值為2+2．

當點A在線段BD的右側時，同法可得AC的最小值為2﹣2．